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一、单变量微积分 (Calculus I & II)

1.1 极限与连续性

极限定义： $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

连续性定义： $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

中值定理： $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \quad c \in (a, b)$

1.2 导数

导数定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

基本导数公式： $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$

$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$

三角函数导数： $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$

$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$

$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$

$\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

反三角函数导数： $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$

求导法则：

链式法则： $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

乘积法则： $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

商法则： $\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

1.3 积分

不定积分基本公式： $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

三角函数积分： $\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$

定积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

分部积分： $\int u dv = uv - \int v du$

换元积分法： $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du, \quad u = g(x)$

反常积分： $\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$

1.4 级数

几何级数： $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1$

调和级数（发散）： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$

p-级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases}$

泰勒级数： $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

麦克劳林级数（$a = 0$）： $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad |x| < 1$

$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad |x| < 1$

收敛性判别：

比值判别法： $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \begin{cases} < 1, & \text{收敛} \\ > 1, & \text{发散} \\ = 1, & \text{不确定} \end{cases}$

根值判别法： $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \begin{cases} < 1, & \text{收敛} \\ > 1, & \text{发散} \end{cases}$

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二、多变量微积分 (Calculus III)

2.1 偏导数

偏导数定义： $\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

全微分： $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

链式法则： $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

方向导数： $D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta$

梯度： $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

散度： $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

旋度： $\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}$

拉普拉斯算子： $\nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

2.2 多重积分

二重积分： $\iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$

极坐标下的二重积分： $\iint_D f(x,y) \, dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta$

三重积分： $\iiint_V f(x,y,z) \, dV$

柱坐标： $x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$ $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$

球坐标： $x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi$ $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$

2.3 向量微积分

线积分（第一类）： $\int_C f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$

线积分（第二类）： $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \, dt$

格林公式（平面）： $\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$

高斯散度定理： $\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS$

斯托克斯定理： $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} \, dS$

保守场条件： $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \quad \text{(2D)}$ $\nabla \times \vec{F} = \vec{0} \quad \text{(3D)}$

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三、线性代数 (Linear Algebra)

3.1 矩阵运算

矩阵乘法： $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$

矩阵转置性质： $(AB)^T = B^T A^T$

矩阵的迹： $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$

$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$

3.2 行列式

2×2 矩阵行列式： $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

3×3 矩阵行列式： $\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ $= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

行列式性质： $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

$\det(A^T) = \det(A)$

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

$\det(kA) = k^n\det(A) \quad \text{($n$ 为矩阵阶数)}$

3.3 特征值与特征向量

特征方程： $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$

$\det(A - \lambda I) = 0$

特征多项式： $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$

迹与特征值的关系： $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$

$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$

对角化： $A = PDP^{-1}$ 其中 $D$ 是对角矩阵，$P$ 的列是特征向量

3.4 向量空间

内积（点积）： $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$

向量的范数： $\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

柯西-施瓦茨不等式： $|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|$

正交性： $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0$

投影： $\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}\vec{v}$

格拉姆-施密特正交化： $\vec{v}_1 = \vec{u}_1$ $\vec{v}_k = \vec{u}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{u}_k, \vec{v}_j \rangle}{\langle \vec{v}_j, \vec{v}_j \rangle}\vec{v}_j$

3.5 矩阵分解

LU 分解： $A = LU$ 其中 $L$ 是下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵

QR 分解： $A = QR$ 其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是上三角矩阵

奇异值分解 (SVD)： $A = U\Sigma V^T$ 其中 $U, V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵

谱分解（对称矩阵）： $A = Q\Lambda Q^T$

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四、常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

4.1 一阶微分方程

可分离变量： $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx$

一阶线性微分方程： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

解的公式： $y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]$

积分因子： $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$

伯努利方程： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$

代换 $v = y^{1-n}$ 转化为线性方程

恰当方程： $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

恰当条件： $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

4.2 高阶线性微分方程

二阶齐次线性微分方程： $ay'' + by' + cy = 0$

特征方程： $ar^2 + br + c = 0$

解的形式：

• 两个不同实根 $r_1, r_2$：$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
• 重根 $r$：$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
• 复根 $\alpha \pm \beta i$：$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

二阶非齐次线性微分方程： $ay'' + by' + cy = f(x)$

通解： $y = y_h + y_p$

参数变易法： $y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$

常系数非齐次方程特解形式：

• $f(x) = e^{\alpha x}$：特解 $y_p = Ae^{\alpha x}$
• $f(x) = \cos\beta x$ 或 $\sin\beta x$：特解 $y_p = A\cos\beta x + B\sin\beta x$
• $f(x) = P_n(x)$：特解 $y_p = Q_n(x)$（同次多项式）

4.3 拉普拉斯变换

定义： $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t) dt$

基本变换： $\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$

$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}$

$\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}$

导数的拉普拉斯变换： $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$

卷积定理： $\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)G(s)$

4.4 级数解法

幂级数解： $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

弗罗贝尼乌斯方法： $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$

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五、偏微分方程 (Partial Differential Equations)

5.1 经典偏微分方程

热传导方程（抛物型）： $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

波动方程（双曲型）： $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

拉普拉斯方程（椭圆型）： $\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

泊松方程： $\nabla^2 u = f$

5.2 分离变量法

假设解的形式： $u(x,t) = X(x)T(t)$

代入偏微分方程后分离变量，得到两个常微分方程

5.3 傅里叶级数

周期为 $2L$ 的函数： $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)$

傅里叶系数： $a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L} dx$

$b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L} dx$

5.4 傅里叶变换

傅里叶变换： $\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

傅里叶逆变换： $f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$

卷积定理： $\mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$

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六、概率论与统计 (Probability & Statistics)

6.1 概率基础

概率公理：

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
2. $P(S) = 1$
3. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$（若 $A, B$ 互斥）

条件概率： $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

贝叶斯定理： $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

全概率公式： $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)$

6.2 随机变量

期望值：

离散型： $E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

连续型： $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

期望性质： $E[aX + b] = aE[X] + b$

$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

方差： $\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

标准差： $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

协方差： $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]$

相关系数： $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

6.3 常见分布

二项分布 $B(n, p)$： $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$

泊松分布 $\text{Poisson}(\lambda)$： $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

$E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda$

正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$： $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

标准正态分布 $N(0, 1)$： $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

指数分布： $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$

$E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

6.4 大数定律与中心极限定理

大数定律（弱形式）： $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i - \mu\right| > \epsilon\right) = 0$

中心极限定理： $\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$

6.5 统计推断

样本均值： $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$

样本方差： $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

置信区间（正态总体）： $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

t 统计量： $t = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$

卡方统计量： $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$

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七、实分析 (Real Analysis)

7.1 度量空间

度量： $d: X \times X \to \mathbb{R}$

满足：

1. $d(x, y) \geq 0$，且 $d(x, y) = 0 \iff x = y$
2. $d(x, y) = d(y, x)$
3. $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$（三角不等式）

欧几里得度量： $d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$

7.2 序列与级数

柯西序列： $\forall \epsilon > 0, \exists N: m, n > N \Rightarrow |x_m - x_n| < \epsilon$

绝对收敛： $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}$

狄利克雷判别法：若 $\{a_n\}$ 单调趋于零，$\sum b_n$ 部分和有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛

阿贝尔判别法：若 $\{a_n\}$ 单调有界，$\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n b_n$ 收敛

7.3 连续性与一致连续性

一致连续： $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon$

利普希茨连续： $|f(x) - f(y)| \leq L|x - y|$

7.4 黎曼积分

黎曼和： $S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$

达布上和与下和： $U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i, \quad L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$

可积准则： $f \text{ 可积} \iff \forall \epsilon > 0, \exists P: U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$

7.5 勒贝格积分

勒贝格测度： $\mu(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty} |I_i|: E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i\right\}$

勒贝格积分： $\int_E f d\mu = \sup\left\{\int_E s d\mu: s \leq f, s \text{ 简单函数}\right\}$

单调收敛定理： $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots, f_n \to f \Rightarrow \int f_n d\mu \to \int f d\mu$

控制收敛定理： $|f_n| \leq g, \int g d\mu < \infty, f_n \to f \Rightarrow \int f_n d\mu \to \int f d\mu$

法图引理： $f_n \geq 0 \Rightarrow \int \liminf f_n d\mu \leq \liminf \int f_n d\mu$

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八、复分析 (Complex Analysis)

8.1 复数基础

欧拉公式： $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

德莫弗公式： $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

复数的极坐标形式： $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

8.2 解析函数

柯西-黎曼方程： $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

柯西积分定理： $\oint_C f(z) dz = 0$ （$f$ 在 $C$ 内部解析）

柯西积分公式： $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$

高阶导数公式： $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

8.3 级数展开

泰勒级数： $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n$

洛朗级数： $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z - z_0)^n$

留数定理： $\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$

留数计算（一阶极点）： $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)$

留数计算（$n$ 阶极点）： $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!}\lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z - z_0)^n f(z)]$

8.4 保形映射

分式线性变换： $w = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \neq 0$

儒可夫斯基变换： $w = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$

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九、抽象代数 (Abstract Algebra)

9.1 群论

群的定义：$(G, *)$ 是群当且仅当：

1. 封闭性：$\forall a, b \in G, a * b \in G$
2. 结合律：$(a * b) * c = a * (b * c)$
3. 单位元：$\exists e \in G: a * e = e * a = a$
4. 逆元：$\forall a \in G, \exists a^{-1}: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$

拉格朗日定理： $|H| \mid |G|$ （$H$ 是 $G$ 的子群）

群的阶： $\text{ord}(a) = \min\{n \in \mathbb{N}: a^n = e\}$

循环群： $G = \langle a \rangle = \{a^n: n \in \mathbb{Z}\}$

同态定理： $G/\ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$

9.2 环论

环的定义：$(R, +, \cdot)$ 是环当且仅当：

1. $(R, +)$ 是交换群
2. 乘法结合律
3. 分配律

理想：$I \subseteq R$ 是理想当且仅当：

1. $(I, +)$ 是子群
2. $\forall r \in R, a \in I: ra, ar \in I$

商环： $R/I = \{a + I: a \in R\}$

主理想： $\langle a \rangle = \{ra: r \in R\}$

9.3 域论

域的定义：$(F, +, \cdot)$ 是域当且仅当：

1. $(F, +)$ 是交换群
2. $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ 是交换群
3. 分配律

特征： $\text{char}(F) = \min\{n \in \mathbb{N}: n \cdot 1 = 0\}$

域扩张： $[K:F] = \dim_F K$

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十、数论 (Number Theory)

10.1 整除性

最大公约数： $\gcd(a, b) = d \iff d|a, d|b, \text{且 } d \text{ 最大}$

贝祖等式： $\gcd(a, b) = ax + by$

欧几里得算法： $\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$

10.2 同余

同余定义： $a \equiv b \pmod{m} \iff m | (a - b)$

费马小定理： $p \text{ 是质数}, \gcd(a, p) = 1 \Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

欧拉定理： $\gcd(a, n) = 1 \Rightarrow a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

欧拉函数： $\phi(n) = |\{k: 1 \leq k \leq n, \gcd(k, n) = 1\}|$

$\phi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)$

中国剩余定理： $x \equiv a_i \pmod{m_i}, \quad \gcd(m_i, m_j) = 1$ 有唯一解 $\bmod M$，其中 $M = \prod m_i$

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十一、数值分析 (Numerical Analysis)

11.1 数值微分

前向差分： $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

中心差分： $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$

二阶导数： $f''(x) \approx \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$

11.2 数值积分

梯形法则： $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2}[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]$

辛普森法则： $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3}[f(a) + 4\sum_{i=1,3,5,...}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,6,...}^{n-2} f(x_i) + f(b)]$

11.3 求根算法

牛顿法： $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

割线法： $x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$

不动点迭代： $x_{n+1} = g(x_n)$

11.4 线性方程组

高斯消元法：转化为上三角形式后回代

雅可比迭代： $x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij}x_j^{(k)}\right)$

高斯-赛德尔迭代： $x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j < i} a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij}x_j^{(k)}\right)$

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十二、特殊函数与常数

12.1 重要常数

欧拉数： $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \approx 2.71828$

圆周率： $\pi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} \approx 3.14159$

黄金比例： $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803$

欧拉-马斯刻若尼常数： $\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n\right) \approx 0.57721$

12.2 特殊函数

伽马函数： $\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$

$\Gamma(n) = (n-1)!, \quad n \in \mathbb{N}$

$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$

贝塔函数： $B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

误差函数： $\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt$

贝塞尔函数（第一类）： $J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}$

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十三、物理中的数学公式

13.1 经典力学

牛顿第二定律： $\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

动能： $T = \frac{1}{2}mv^2$

势能（引力）： $U = -\frac{GMm}{r}$

拉格朗日方程： $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

其中 $L = T - V$（拉格朗日量）

哈密顿方程： $\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

13.2 电磁学

麦克斯韦方程组：

高斯定律： $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

高斯磁定律： $\nabla \cdot \vec{B} = 0$

法拉第电磁感应定律： $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

安培-麦克斯韦定律： $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

洛伦兹力： $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

13.3 量子力学

薛定谔方程（含时）： $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t) = \hat{H}\Psi(\vec{r},t)$

薛定谔方程（定态）： $\hat{H}\psi = E\psi$

海森堡不确定性原理： $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$

狄拉克方程： $(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0$

13.4 相对论

洛伦兹变换： $t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad x' = \gamma(x - vt)$

其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

质能方程： $E = mc^2$

$E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$

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总结

微积分（单变量、多变量、向量）
线性代数（矩阵、特征值、分解）
微分方程（常微分、偏微分）
概率统计（分布、推断、大数定律）
实分析（度量空间、勒贝格积分）
复分析（解析函数、留数定理）
抽象代数（群、环、域）
数论（同余、欧拉定理）
数值分析（数值微分、积分、求根）
物理数学（麦克斯韦方程、薛定谔方程等）